Esercizi del 20 marzo 2006

Sono online gli esercizi del 20 marzo al seguente link: http://www.mat.uniroma3.it/users/gabelli/
galois05_06/Esercizi2.pdf

Se avete problemi fatemi sapere...

Esempio di estensione non normale

Ricordiamo che
Definizione Una estensione K di F si dice normale se ogni polinomio irriducibile p∈ F[x] con una radice in K, allora p si spezza in K, i.e. se p ha una radice in K allora ha tutte le sue radici in K
Vediamo un esempio di estensione non normale. Consideriamo K=Q(∛2) e F=Q (Q il campo dei razionali). Supponiamo per assurdo che K sia normale, consideriamo p(x)=x^3−2 il polinomio minimo di ∛2. Allora

1. p è irriducibile su Q


2. p ha una radice in K

Quindi p è completamente riducibile in K. Ma una semplice verifica mostra che p(x)=x^3−2=(x−∛2)(x^2+∛2x+∛4) e q(x)=x^2+∛2x+∛4 è un polinomio irriducibile su K avendo due radici complesse coniugate. Quindi K non è un'estensione normale di Q.

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Esercizi del 13 marzo 2006

Nella sezione link trovate il testo degli esercizi svolti a lezione, o direttamente cliccando sul seguente link: Esecizi1.pdf.

Lezione del 03/03/2006

1  Proprietà elemetari dell'azione di un gruppo su un insieme

1. Relazione fra orbite e stabilizzatore di un elemento.


2. Costruzione dei polinomi simmetrici elementari tramite l'azione di Sn sui polinomi.

2  Semplicità di An
Ricordiamo che
Definition 1   Un gruppo G si dice semplice se non ha sottogruppi normali non banali
Abbiamo dimostrato il seguente
Theorem 1   Se n≠4 allora An è semplice
Usando i seguenti
Lemma 2   Fissati i e j
(ij1) (ij2) … (ijk) … (ijn)
con k≠ i,j generano An

Lemma 3   Sia H un sottogruppo normale di An tale che (123)∈ H allora H=An

Lemma 4   Sia H un sottogruppo normale di An e n≠4 allora H contiene un 3−ciclo.

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Lezione del 26/02/06

Richiami sul gruppo simmetrico:

1. Definizione
2. Struttura ciclica di una permutazione
3. Definizione del sottogruppo alterno
4. Generatori del gruppo simmetrico
5. Azione sui polinomi e relazione con i polinomi simmetrici

Azione di un gruppo su un insieme:

1. Definizione
2. Proprietà elementari
3. Rappresentazione associta all'azione
4. Orbita e stabilizatore di un elemento

Regolamento

Questo è un blog sperimentale delle esercitazioni del corso di TE1 svolto presso il dipartimento di matematica dell'università di Roma "Roma 3".

Ad ogni esercitazione corrisponderà un post . Sono ben venuti commenti e suggerimenti sull'argomento trattato.

Regolamento del Blog

1. Non si possono lasciare messaggi ingiuriosi verso chiunque, soprattutto nei confronti dell'esercitatore ;)
2. Non si possono lasciare messaggi non attinenti agli argomenti del corso di TE1
3. L'autore del blog è l'unico giudice del rispetto delle regole

Quindi:

1. Il non rispetto delle regole comporta l'automatica cancellazione del commento.
2. Nel caso in cui il numero dei messaggi "non pubblicabili" superi la mia capacita di cancellarli il blog sarà chiuso

Biografia di Évariste Galois

La biografia di Évariste Galois su Wikipedia in inglese.

La foto di E. Galois è presa da Wikipedia