Lezione del 03/03/2006

1  Proprietà elemetari dell'azione di un gruppo su un insieme

1. Relazione fra orbite e stabilizzatore di un elemento.


2. Costruzione dei polinomi simmetrici elementari tramite l'azione di Sn sui polinomi.

2  Semplicità di An
Ricordiamo che
Definition 1   Un gruppo G si dice semplice se non ha sottogruppi normali non banali
Abbiamo dimostrato il seguente
Theorem 1   Se n≠4 allora An è semplice
Usando i seguenti
Lemma 2   Fissati i e j
(ij1) (ij2) … (ijk) … (ijn)
con k≠ i,j generano An

Lemma 3   Sia H un sottogruppo normale di An tale che (123)∈ H allora H=An

Lemma 4   Sia H un sottogruppo normale di An e n≠4 allora H contiene un 3−ciclo.

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