Elementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali
a) Controllare se 0, 1, 2 sono o no radici del polinomio.
b) Se nessuno elemento è una radice controlare che il polinomio non si possa scrivere come prodotto di due polinomi di grado 2
c) Se non ha radici e non si può scrivere come prodotto di due polinmomi di grado due allora è irriducibile.
Se siamo nel caso a) il polinomio può avere 1 o 2 o 4 radici (non necessariamente distinte (perchè non 3?)
Se ne ha 4 allora è completamente riducibile quindi F3 è il campo di spezzzamento.
Se ne ha 2 il problema si riduce a studiare il campo di spezzamento di un polinomio di grado 2
Se ne ha 1 il problema si riduce a studiare il campo di spezzamento di un polinomio di grado 3
Se siamo nel caso c) abbimo un estensione di grado 4 semplie.
il caso b) è leggermente più complicato bisogna prima eseguiure un'estensione di grado 2 e poi controillare che il secondo polinomoio non sia riducibile.
Se è ruiducibile abbimo finitro qusto è il campo di spezzamento
Se non è riducibile dobbiamo fare una seconda estensione di grado 2 per trovare il campo di spezzamento
Per più dettagli su l'esercizio vedi il file della soluzione
Salve vorrei sapere come si svolge il seguente esercizio: si dimostri che se n=2^h con h>1 le radici primitive non costinuiscono una base dell'n-esimo ampliamento ciclotomico. in particolare vorrei sapere come si costruisce la base di un generico ampliamento ciclotomico.
4 commenti:
Vorrei sapere come si fa il campo di spezzamento di x^4+2x^3+2x+2 su F3...grazie mille arrivederci
La strategia è la seguente:
a) Controllare se 0, 1, 2 sono o no radici del polinomio.
b) Se nessuno elemento è una radice controlare che il polinomio non si possa scrivere come prodotto di due polinomi di grado 2
c) Se non ha radici e non si può scrivere come prodotto di due polinmomi di grado due allora è irriducibile.
Se siamo nel caso a) il polinomio può avere 1 o 2 o 4 radici (non necessariamente distinte (perchè non 3?)
Se ne ha 4 allora è completamente riducibile quindi F3 è il campo di spezzzamento.
Se ne ha 2 il problema si riduce a studiare il campo di spezzamento di un polinomio di grado 2
Se ne ha 1 il problema si riduce a studiare il campo di spezzamento di un polinomio di grado 3
Se siamo nel caso c) abbimo un estensione di grado 4 semplie.
il caso b) è leggermente più complicato bisogna prima eseguiure un'estensione di grado 2 e poi controillare che il secondo polinomoio non sia riducibile.
Se è ruiducibile abbimo finitro qusto è il campo di spezzamento
Se non è riducibile dobbiamo fare una seconda estensione di grado 2 per trovare il campo di spezzamento
Per più dettagli su l'esercizio vedi il file della soluzione
Salve vorrei sapere come si svolge il seguente esercizio: si dimostri che se n=2^h con h>1 le radici primitive non costinuiscono una base dell'n-esimo ampliamento ciclotomico. in particolare vorrei sapere come si costruisce la base di un generico ampliamento ciclotomico.
Scusa il ritardo nella risposta,
Per risolvere la seconda parte della domanda puoi vedere le dispense "Elementi di Teoria dei campi" da pag. 58.
Per la prima parte mi sembra che sia vero il contrario. Cioè le radici primitive formano una base.
Per vederlo prova a fare i casi:
n=4, h=2.
n=8, h=3.
Se hai qualche problema fammi sapere.
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