Esercitazioni del 27 marzo 2006

Sono online gli esercizi del 27 marzo al seguente link: Esercizi3.pdf
Se avete problemi fatemi sapere...

Esercizi del 20 marzo 2006

Sono online gli esercizi del 20 marzo al seguente link: http://www.mat.uniroma3.it/users/gabelli/
galois05_06/Esercizi2.pdf

Se avete problemi fatemi sapere...

Esempio di estensione non normale

Ricordiamo che
Definizione Una estensione K di F si dice normale se ogni polinomio irriducibile p∈ F[x] con una radice in K, allora p si spezza in K, i.e. se p ha una radice in K allora ha tutte le sue radici in K
Vediamo un esempio di estensione non normale. Consideriamo K=Q(∛2) e F=Q (Q il campo dei razionali). Supponiamo per assurdo che K sia normale, consideriamo p(x)=x^3−2 il polinomio minimo di ∛2. Allora

1. p è irriducibile su Q


2. p ha una radice in K

Quindi p è completamente riducibile in K. Ma una semplice verifica mostra che p(x)=x^3−2=(x−∛2)(x^2+∛2x+∛4) e q(x)=x^2+∛2x+∛4 è un polinomio irriducibile su K avendo due radici complesse coniugate. Quindi K non è un'estensione normale di Q.

This document was translated from LATEX by HEVEA.

Esercizi del 13 marzo 2006

Nella sezione link trovate il testo degli esercizi svolti a lezione, o direttamente cliccando sul seguente link: Esecizi1.pdf.

Lezione del 03/03/2006

1  Proprietà elemetari dell'azione di un gruppo su un insieme

1. Relazione fra orbite e stabilizzatore di un elemento.


2. Costruzione dei polinomi simmetrici elementari tramite l'azione di Sn sui polinomi.

2  Semplicità di An
Ricordiamo che
Definition 1   Un gruppo G si dice semplice se non ha sottogruppi normali non banali
Abbiamo dimostrato il seguente
Theorem 1   Se n≠4 allora An è semplice
Usando i seguenti
Lemma 2   Fissati i e j
(ij1) (ij2) … (ijk) … (ijn)
con k≠ i,j generano An

Lemma 3   Sia H un sottogruppo normale di An tale che (123)∈ H allora H=An

Lemma 4   Sia H un sottogruppo normale di An e n≠4 allora H contiene un 3−ciclo.

(image placeholder)
This document was translated from LATEX by HEVEA.