Esempio di estensione non normale

Ricordiamo che
Definizione Una estensione K di F si dice normale se ogni polinomio irriducibile p∈ F[x] con una radice in K, allora p si spezza in K, i.e. se p ha una radice in K allora ha tutte le sue radici in K
Vediamo un esempio di estensione non normale. Consideriamo K=Q(∛2) e F=Q (Q il campo dei razionali). Supponiamo per assurdo che K sia normale, consideriamo p(x)=x^3−2 il polinomio minimo di ∛2. Allora

1. p è irriducibile su Q


2. p ha una radice in K

Quindi p è completamente riducibile in K. Ma una semplice verifica mostra che p(x)=x^3−2=(x−∛2)(x^2+∛2x+∛4) e q(x)=x^2+∛2x+∛4 è un polinomio irriducibile su K avendo due radici complesse coniugate. Quindi K non è un'estensione normale di Q.

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